信噪比小结

Posted on 2015-03-10 19:31 in Telecom

所谓 信噪比(SNR, Signal-to-noise ratio) 就是指 信号的功率 和噪声的功率 的比值。我们可以用它来比较信号的和背景噪声的相对大小,如果比值大于 1(0 dB),说明信号功率比噪声功率强。

SNR Def


信噪比的定义式:

def

这里 P 表示信号 / 噪声的平均功率。

  • 如果信号和噪声的方差已知,且两者的均值都为 0,则信噪比可以写为下式:

    eq1

  • 如果信号和噪声是使用相同的阻抗来测量的(功率这个词本来就源于物理,在电子系统中,功率 P = UI = V^2/R),那么信噪比公式可以用幅度的平方比值来计算:

    eq2

    其中 A 为信号 / 噪声的 均方根( root mean square, RMS)

  • 一般信号的动态范围都很大,所以通常采用分贝的方式来表示信噪比

    ep3

    把 均方根 带入,就可以得到下面的公式

    eq4

  • 一般 SNR 指的是 平均 信噪比,因为通常 SNR 的瞬时值是不同的

  • 信噪比的概念也可以这么理解:将噪声的功率归一化为 1(0 dB),看信号的功率可以达到多大


SNR in telecom


在物理学中,交流电信号的 平均功率 = ( 电压 × 电流 ) 的均值,如下式:

eq5

eq6

但是在信号处理和通信中,一般假设电阻的阻值为 1 欧姆,所以在计算能量、功率时,电阻因子会被忽略。这可能会引起一些困扰。

所以信号的功率表示式简化为下面的公式:

eq7

(其中,A 是交流信号的幅度)

Eb/N0

在数字系统中可以使用 SNR 表示噪声的等级,但是更常用的是 Eb/N0 (energy per bit to noise power spectral density ratio)

Eb/N0 是一种归一化的 SNR,称为 “ SNR 每 bit ”,在比较不同的调制方案的 误比特率(BER, bit error rate) 性能时,因为这种方法不考虑带宽的因素,所以很有效。

其中 Eb 是平均比特能量,它表示平均每个 bit 包含的能量。

信号的功率就等于符号中每个比特的功率 Eb × 每个符号所包含的比特数 fb(也就是比特速率);噪声的能量可以用功率谱密度来计算,N0×B,代入信噪比的定义式,就有下面的换算公式:

eq9

P.S. 上面的公式左边使用的是载噪比 CNR,在抑制载波的调制方式中,等于信噪比 SNR。


AWGN


高斯分布(Gaussian distribution)可以使用 N(μ,σ2 ) 来表示,其中 μ 是均值,σ 是标准差。

对噪声进行建模,最简单的就是 加性高斯白噪声 (AWGN, Additive White Gaussian Noise)

  • 加性:叠加在信号之上,而且无论有无信号,噪声都是始终存在

  • 高斯:噪声幅度的取值是随机过程,它的概率密度函数服从高斯分布

  • 白噪声:噪声的功率谱密度函数取值是常数,在坐标系中表现为一条直线,在每个频率点的谱密度都一样,就像白光包含各种频率的光一样,所以叫做白噪声。

同时满足这三个的条件的噪声就叫做 加性高斯白噪声。

高斯白噪声的功率谱函数:P(f) = N0/2

其中 N0单边噪声功率谱密度N0/2双边噪声功率谱密度

因为功率谱密度函数的定义域是无穷大的,所以高斯噪声的功率也是无穷大的,它的功率只有在带限时才有意义。

在计算前面 SNR 时,我们可以使用下面两种方法来得到 Pn:

  1. 如果均值为 0,Pn = 方差 σ2 = R(0)

  2. 如果已知功率谱密度函数 P(f),那么直接对其定积分


Ref

Signal-to-noise ratio

Eb/N0

Gaussian noise

关于白噪声功率谱密度和方差的关系

SNR