数字信号处理中的各种频率

Posted on 2015-08-27 22:06 in Telecom

最近实习的时候,发现自己的 DSP 基本功还是不够扎实,关于模拟 / 数字角频率,频率,采样速率等一些概念理解的都不太深刻,愧对老师和这么多年的学习,Google 到一些讲解的比较清楚的 blog,备忘(抄袭)过来,温故而知新。

unit circle & sin(cos)


首先从最基本的三角函数的定义开始:

三角函数的定义方式有很多种,我觉得基于单位圆的定义是最形象,对之后理解各种角频率的物理 / 数学含义最有帮助。

我们应该是在初中的时候第一次接触到三角函数,那时候三角函数的定义是直接给个三角形,然后直接定义 sin(cos) 为哪条边比哪条边的值,然后给出 sin(cos) 的波形如下图所示:

sine & cosine "Sine cosine one period" by Geek3 - Own work. Licensed under CC BY 3.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine_cosine_one_period.svg#/media/File:Sine_cosine_one_period.svg

当我们将这个三角形和单位圆联系在一起的时候,sin(cos) 的几何意义就很明显了:

enter image description here

"Circle-trig6" by This is a vector graphic version of Image:Circle-trig6.png by user:Tttrung which was licensed under the GFDL. Based on en:Image:Circle-trig6.png, which was donated to Wikipedia under GFDL by Steven G. Johnson. - This is a vector graphic version of Image:Circle-trig6.png by user:Tttrung which was licensed under the GFDL. ; Based on en:Image:Circle-trig6.png, which was donated to Wikipedia under GFDL by Steven G. Johnson.. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle-trig6.svg#/media/File:Circle-trig6.svg

图中红色的线段长度就是 sin 的值,蓝色的线段长度就是 cos 的值,如果我们假设坐标系的原点和单位圆重合,脑补一下下面的场景:有个小球(只能)沿着单位圆的圆周做运动。这时候,我们就会发现一个事实:

sin(t) 是小球 t 时刻在 y 轴上的投影,cos(t) 是小球 t 时刻在 x 轴上的投影。

进一步,当小球的运动速率是匀速率的时候,就有了上面提到的波形,更加形象的图如下:

enter image description here

"Circle cos sin" by LucasVB - Own work. Licensed under Public Domain via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif#/media/File:Circle_cos_sin.gif

P.S. 关于投影,wiki 上有个解释欧拉公式的图特别好:

"Sine and Cosine fundamental relationship to Circle (and Helix)" by Tdadamemd - Own work by uploader (.gif frames created in Powerpoint). Licensed under CC BY-SA 3.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine_and_Cosine_fundamental_relationship_to_Circle_(and_Helix).gif#/media/File:Sine_and_Cosine_fundamental_relationship_to_Circle_(and_Helix).gif


有了上面简单的背景,就可以开始逐个讨论信号处理中的概念了。


Ω


我们已经知道小球在圆周上做匀速率的圆周运动时,它在两个坐标轴上的投影就分别是 sin(cos),如果我们想进一步描述小球的运动速率的快慢呢?

假设小球完整转一圈所花费的时间为 T,转动的角度为 2π,则我们可以定义

模拟角频率 Ω = 2π/T,单位是 rad / s

来描述小球的转动速率的快慢。

当 t = 2π 时,y = sin(Ω2π),这时候可以看出 Ω 的物理含义:在 2π 的时间内,小球所完成的圈数。*

下面的 Matlab 小程序演示了 2π 时间内 Ω 和周期的对应关系:

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t = 0: pi/50: 2*pi;
for OMEGA = 1:4
    y(:,OMEGA) = sin(OMEGA*t);
    str{OMEGA} = ['OMEGA=', num2str(OMEGA)];
end
h = plot(t, y); grid on;
xlabel('t / s'); ylabel('amp'); title('y = sin(OMEGA*t)');
legend(h, str);

结果如下图:

OMEGA


f


小球在二维平面上的圆周运动投影到一维的坐标轴 x(y) 轴上看,则是左右(上下)振动。和 Ω 类似,我们也可以定义一个物理量来描述这种振动的快慢:

小球完成一次完整的圆周运动所花费的时间为 T,也就是完成一次振动花费了 T 时间,我们定义

频率 f = 1 / T,单位是 Hz

来描述振动的快慢。由前面 Ω 的定义式可知,Ω = 2π * f,有 y = sin(2π * f * t)。

当 t = 1s 时,y = sin(2π * f),这时候可以看出 f 的物理意义:在 1s 的时间内,小球所完成的振动次数。

下面的 Matlab 小程序演示了 1s 时间内 f 和振动周期的对应关系:

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t = 0: 1/100: 1;
for f = 1:4
    y(:,f) = sin(2*pi*f*t);
    str{f} = ['f=', num2str(f)];
end
h = plot(t,y); grid on;
xlabel('t / s'); ylabel('amp'); title('y = sin(2*pi*f*t)');
legend(h, str);

结果如下图:

f


w


计算机的世界是离散的,所以当连续信号经过采样、量化得到离散信号后:

y = sin(Ωt) = sin(ΩnTs) = sin(ΩTsn) = sin(wn)

从数学上我们就可以得到:

数字角频率 w = Ω*Ts = Ω / Fs,单位是 rad

可以看到,w 是用采样频率 Fs 对 Ω 进行归一化得到的,所以 w 准确地应该叫做归一化数字角频率。

连接模拟和数字的桥梁就是采样频率 Fs,由计算过程可以知道,w 相同的两个信号,它们的 Ω 不一定相同。因为丢失了 Fs 信息,所以单独讨论 w 是没有意义的。

虽然单独讨论 w 是没有意义的,但是这不代表 w 没有物理意义,当小球的振动频率为 f 时,每秒在圆周上转过的角度为 Ω = 2π * f,而采样频率为 Fs 就是说每秒钟对小球进行 Fs 次采样(拍照),显然有 Fs 个样值(照片)。这些样值(照片)是均匀分布的,所以每两个样值点之间的弧度为 2π * f / Fs = w,这也就是 w 的物理含义:相邻两个样值点之间的弧度数。

================================== summary ====================================

这几个频率之间是线性关系,可以得到下面的对应关系:

Item Min Mid Max
n 0 (N-1)/2 N
Ω 0 Ωs/2 Ωs
f 0 Fs/2 Fs
w 0 π 2*π

由频谱的搬移过程可以知道,w 从 π 到 2π 是负频率搬移的结果,所以通常分析的时候 w 的范围为 [-π, π),如下

Item Min Mid Max
Ω -Ωs/2 0 Ωs/2
f -Fs/2 0 Fs/2
w 0 π


Ref

Trigonometric functions

阿英讲频率 f,角频率 Ω 和数字频率 w 的物理含义 -- 附 MATLAB 仿真

傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于 2014.06.06